UNIVERSIDAD ANDINA
SIMÓN BOLÍVAR

Ecuador

Ministerio de Educación y Cultura

 

 

 

Programa de Matemáticas

 

 






 

 

 

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Primero, Segundo y Tercer Año
Redacción final: Salvador Campaña
(programa revisado)

 

7. PROGRAMA DE MATEMÁTICAS
SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

(Quinto Curso)


FUNCIONES

Contenido General
Las relaciones entre varios conjuntos de objetos abundan en la vida cotidiana. Por ejemplo: a cada persona le corresponde una madre, a cada artículo un precio, a cada automóvil una placa o un número de licencia, a cada número le corresponde su cuadrado, la temperatura de ebullición del agua es función de la altitud, el área del círculo es función del radio, el interés está en función del capital, etc. Uno de los aspectos más relevantes en la ciencia es establecer las relaciones entre varios tipos de fenómenos: así, un químico puede usar una ley de gases para predecir la presión de un gas encerrado a una determinada temperatura; un ingeniero puede usar una fórmula para predecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas; un economista puede ser capaz de predecir las tasas de interés, dada la tasa de cambio de la oferta de dinero, etc.

Establecer relaciones y trabajar con ellas es de gran importancia, tanto para la ciencia pura como para la aplicada, por lo que se ha considerado necesario describirlas en el lenguaje preciso de las matemáticas. Las relaciones especiales denominadas funciones, representan uno de los aspectos más importantes en las matemáticas, de ahí que todo esfuerzo hecho para comprender y usar correctamente este concepto, se verá recompensado muchas veces.

Por ello, es necesario considerarlo en todos sus aspectos fundamentales, poniendo especial interés en las funciones reales, cálculo del dominio, recorrido y elaboración de gráficas; estudiar la composición de funciones, la biyección y la función inversa, las funciones pares e impares, las funciones crecientes y decrecientes y otras.


PRIMERA UNIDAD
Funciones reales

Contenidos Conceptuales
1. Función: definición, notación.
2. Funciones reales. Dominio y recorrido.
3. Composición de funciones.
4. Función biyectiva.
5. Función inversa.
6. Funciones pares e impares.
7. Monotonía de las funciones.


Contenidos Procedimentales
1. Identificación de las relaciones que sí son funciones, así como los procesos que permiten determinar dominios y recorridos en funciones reales.
2. Composición de dos o más funciones: f o g.
3. Verificación de la biyectividad y determinar las funciones inversas: ( f ó f-1 )x = x
4. Comparación y distinción entre las funciones pares e impares. Determinar los intervalos de monotonía.
5. Graficación de diversos ejemplos de funciones reales en el plano cartesiano y comparar con el dominio y recorrido obtenido analíticamente.


Contenidos Actitudinales
1. Valorar la persistencia, el razonamiento lógico, la creatividad y la independencia de criterio en la resolución de problemas de diversa índole.


SEGUNDA UNIDAD
Funciones: cuadrática, exponencial y logarítmica

Contenido General
La investigación de las funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas tiene gran importancia en el quehacer permanente de la humanidad. Las parábolas se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, por ejemplo la trayectoria seguida por un proyectil, las órbitas de algunas partículas atómicas, etc. Las formas de arcos parabólicos se utilizan para hacer luces de emergencia, faros de automóviles; algunos tipos de telescopios emplean espejos parabólicos, en estructuras constructivas el arco parabólico es el más resistente, los platos de antenas receptoras de señales de satélite, etc.
A las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento, puesto que su empleo más extenso está en la descripción de esta clase de fenómenos, como el desarrollo poblacional de: personas, animales, bacterias; para desintegración radioactiva, el crecimiento de una sustancia en una reacción química, el incremento del capital en el interés compuesto, etc. La función inversa de la función exponencial, es la función logarítmica que se utiliza ampliamente en las ciencias teóricas como en las aplicadas, por ejemplo, para resolver la ecuación exponencial que se deriva de los estudios de crecimiento poblacional y de las matemáticas financieras, aun con una calculadora científica muy buena, se necesitan las funciones logarítmicas para resolverlas. Los logaritmos que se utilizan con mayor frecuencia, son los de base 10 llamados vulgares o de Briggs en honor de su inventor, el matemático inglés Henry Briggs (1556-1630), y los logaritmos naturales de base e = 2,7182 ... en honor del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

El tratamiento de estos temas constituye un aporte fundamental para el desarrollo tecnológico en diferentes áreas como son: Física, Química, Biología, Economía, Estadística, Geometría, Geología, etc. En el presente caso, el estudio de esta unidad, se llevará a cabo mediante el análisis de la forma de cada una de las funciones, del dominio y recorrido, su gráfica, propiedades, raíces, intervalos de monotonía, ejercicios y problemas de aplicación.


Contenidos Conceptuales
1. La forma analítica y gráfica general de la función cuadrática.
2. Los puntos máximos o mínimos según que a <0 , a >0 , respectivamente.
3. El dominio y el recorrido de la función cuadrática.
4. Monotonía de la función de segundo grado. Vértice.
5. Raíces de la ecuación de segundo grado y su intercepción con el eje x ( y=0 ). Propiedades.
6. Ecuaciones racionales e irracionales y otras que se resuelven mediante la ecuación de segundo grado.
7. Formas analítica y gráfica de las funciones exponencial y logarítmica. Dominios y recorridos correspondientes.
8. Monotonía de cada una de las funciones exponencial y logarítmica.
9. Propiedades y teoremas de las funciones exponencial y logarítmica.
10. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.


Contenidos Procedimentales
1. Graficación de diferentes tipos de ejercicios sobre las funciones señaladas y calcular los dominios y recorridos.
2. Determinación de los intervalos de monotonía [Demostrar: y = a(x + b/2a)2 + c - b2/4a].
3. Demostración de las propiedades, teoremas y fórmulas generales.
4. Identificación de diferentes procesos y métodos para transformar y resolver distintos tipos de ecuaciones.
5. Solución de modelos matemáticos referentes a las funciones señaladas, eligiendo estrategias idóneas.


Contenidos Actitudinales
1. Valoración de actitudes creativas que inviten a buscar caminos inéditos y originales para la resolución de problemas.